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什么是纯数学

纯数学家做什么

为什么纯数学很重要

这些是我经常遇到的问题,当人们发现我做纯数学时,我总是设法提供答案,但它似乎永远不会完全满足所以我会尝试对这三个问题作出更加公式化和成熟的回应我向前道歉我为了简洁而必须过度简化的时间从广义上讲,有两种不同类型的数学(我已经可以听到抗议) - 纯粹的和应用的哲学家如伯特兰·罗素试图给出严格的定义分类我在下面的,有点神秘的说法中捕捉到区别:纯数学家证明定理和应用数学家构造理论这意味着数学由两组人完成的范式是不同的纯数学家通常由抽象驱动问题为了使抽象的具体,这里有几个例子:“有无数的孪生素数”或“母鹿每一个真正的数学陈述都有一个证明吗

“更确切地说,数学是用公理建立的,数学真理的本质是由谓词逻辑决定的

数学定理是一个真实的陈述,伴随着一个证明其超越真理的证据使用逻辑进行演绎的所有疑问与经验理论不同,仅仅构建一个可能随着异常的出现而改变的解释是不够的数学家怀疑由于证据而不是证据而成为真实的东西仅仅是猜想应用数学家通常是由物理世界引起的问题他们使用数学建模和解决这些问题这些模型实际上是理论,并且与任何科学一样,它们受到证据和可证伪性随着关于问题的信息量的增加,这些模型可能会改变纯粹的并且应用不一定是相互排斥的

有很多伟大的数学家都在这里纯粹数学家追求的问题源于具体的物理问题 - 特别是那些来自相对论或量子力学的问题

通常,在对这些现象的更深入理解中,出现了各种“技术性”(相信我,当我告诉你这些技术性很难解释)这些被抽象成纯粹的数学语句,纯粹的数学家可以攻击解决这些数学问题然后可以有重要的应用让我举一个具体的例子说明抽象思想如何导致支持功能的设备的发展现代社会:计算机最早的计算机是固定程序 - 即它们是专门用来执行一项任务改变程序是一项非常昂贵和乏味的事情这种恐龙的现代遗留物将是一个袖珍计算器,它是建立的仅执行基本算术相比之下,现代计算机允许一个人一个计算器程序,或文字处理程序,你不必切换机器这样做这种范式转换发生在20世纪40年代中期,被称为存储程序或冯·诺依曼体系结构可广泛使用,但较少 - 众所周知,故事是这个概念的根源在于一个抽象的数学问题的调查,称为Entscheidungsproblem(决定问题)Entscheidungsproblem是由着名的数学家David Hilbert在1928年制定的

它大致翻译为:“是否存在程序这可以在有限的几个步骤中决定数学陈述的真实性或错误性吗

“Alonzo Church和Alan Turing在1936年和1937年独立地回答了这一点

在他的论文中,图灵制定了一个抽象机器,我们现在称之为图灵机该机器拥有一个无限长的磁带(存储器),一个可以一次移动一步,读取和写入磁带的磁头,一个有限的指令能够向头部发出指令,以及一组有限的状态(例如“接受”或“拒绝”)一个人在磁带上输入启动机器这样的机器不能存在于数学领域之外,因为它有一个无限长磁带但它是用于定义可计算性概念的工具也就是说,如果我们可以使用图灵机对其进行编码,我们说问题是可计算的 然后可以看到图灵机与固定程序机器的相似之处现在,假设有一个图灵机U可以获取指令表和任意图灵机T的状态(适当编码),并在同一带上输入I到T,并在输入I上运行图灵机T这样的机器被称为通用图灵机在他1937年的论文中,图灵证明了一个重要的存在定理:存在一个通用的图灵机现在这是商店的并行程序概念,现代可编程计算机的基础值得注意的是,关于数学基础的抽象问题为现代计算机的出现奠定了基础

数学家可能不受限制的限制,这可能是纯数学的一个特征

物理世界,可以吸引想象力来创造和构建抽象对象这并不是说纯粹的数学家没有形式化物理概念,如e nergy,entropy etcetera,做抽象数学在任何情况下,这个例子都应该说明追求纯粹的数学问题是一个值得对社会有巨大价值的事业

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